指数函数与其反函数的交点个数

前言

前段时间刚得知指数函数和它的反函数原来还能有 3 个交点(哭),就像下面这张图一样

三个交点

于是有了这篇文章。接下来我们将深入讨论指数函数和其反函数的交点个数与底数的关系。整体的思路出自一篇相关的论文[1],我在阅读完它后,重新梳理了过程,并对一些步骤进行了详细解释,包括但不限于补充过程、增加函数图像。

讨论

讨论 $y=a^x$ 和 $y=\log_ax$ 的交点个数等价于讨论 $a^x = \log_ax$ 的解的个数。

设 $a^x = \log_ax = u$ ,我们不妨分两种情况来讨论。

当 $u = x$ 时

原式等价于

接着考察 $f(x) = x^\frac{1}{x} \ (x \gt 0)$ 的单调性和值域。

由于 $x^{\frac{1}{x}-2} > 0$ 恒成立,所以易得

  • $x \in (0,\ e)$ 时, $f’(x) > 0$
  • $x = e$ 时, $f’(x) = 0$
  • $x \in (e,\ +\infty)$ 时, $f’(x) < 0$

求 $f(x)$ 两边的极限

我们得知 $f(x)$

  1. 在区间 $(0,\ e)$ 上由 $0$ 单调递增至 $e^{e^{-1}}$
  2. 在 $x = e$ 处取得极大值 $e^{e^{-1}}$
  3. 在区间 $(e,\ +\infty)$ 上由 $e^{e^{-1}}$ 单调递减至 $1$
  4. 值域为 $(0,\ e^{e^{-1}}]$

草图(?)

画张草图,数形结合,很容易知道

  1. $a \in (0,\ 1) \cup \lbrace e^{e^{-1}} \rbrace $ 时,原方程有唯一的实数解
  2. $a \in (1,\ e^{e^{-1}})$ 时,原方程有两个实数解
  3. $a \in (e^{e^{-1}},\ +\infty)$ 时,原方程无实数解

特别地,当 $a = e^{e^{-1}}$ 时

求导

发现 $g’(e) = h’(e) = 1$ ,所以 $g (x),\ h(x)$ 相切 $y = x$ 于一点 $(e,\ e)$ 。

当 $u \neq x$ 时

原式等价于

由 $y=a^x$ 和 $y=\log_ax$ 的对称性,这里不妨假设 $u \gt x \gt 0$ 。

注:这里只计算直线 $y = x$ 上方的那个交点 $(x,\ u)$ 。如果这个交点存在,那么由对称性就能知道另一个交点。

发现 $u = x^{\frac{x}{u}}$ ,于是构造 $u = x^{1-\frac{1}{\gamma}} \ (\gamma \neq 0)$ ,得

注:这就相当于直接构造 $\frac{x}{u} = 1-\frac{1}{\gamma}$ 。这样构造使我们很容易求出 $x,\ u$ 的表达式,并且表达式里的指数也是很简单的整式。

由 $u \gt x \gt 0$ 可以得到 $\gamma \gt 1$ 。

此时

对 $f(\gamma)$ 求导(不难,但很麻烦,所以省略中间重复使用链式法则的过程)

因为 $f(\gamma) \gt 0,\ u \gt 0,\ \gamma \gt 1$ 所以

可知 $f’(\gamma)$ 与 $g(\gamma)$ 同号。对 $g(\gamma)$ 求导

得知 $g(\gamma)$ 在 $(1,\ +\infty)$ 单调递减,又由

知 $g(\gamma) \gt 0$ ,所以 $f’(\gamma) \gt 0$ 。

求 $f(\gamma)$ 两端极限(因为不好求,所以先求 $x$ 和 $u$ 的极限)

所以,$f(\gamma)$ 在 $(1,\ +\infty)$ 上单调递增,值域为 $(0,\ e^{-e})$ 。

草图(迫真)

画张草图,数形结合,可以知道,当且仅当 $a \in (0,\ e^{-e})$ 时, $\gamma$ 可由 $a$ 唯一确定。

那么我们可以确定,当 $a \in (0,\ e^{-e})$ 时, $y=a^x$ 和 $y=\log_ax$ 在直线 $y = x$ 上方有唯一的一个交点 $(x,\ u)$ 。根据对称性又能推出,在直线 $y = x$ 下方,两个函数也一定有一个交点。

所以

  1. $a \in (0,\ e^{-e})$ 时,原方程有两个实数解
  2. $a \in (e^{-e},\ 1) \cup (1,\ +\infty)$ 时,原方程无实数解

特别地,根据上面的计算可以知道 $(x,\ u)$ 随着 $\gamma$ 增大会靠近直线 $y = x$ 且 $a \rightarrow e^{-e}$ 。之前的分析告诉我们,$a = e^{-e}$ 时,$y=a^x$ 和 $y=\log_ax$ 只有一个交点 $(e^{-1},\ e^{-1})$。那么就可以推出原本的三个交点在 $a = e^{-e}$ 时聚在了一起,所以此时这两个函数一定相切,切点就是 $(e^{-1},\ e^{-1})$ 。

总结

综合上面的讨论,可以总结出下面这张表格。

$a$ 的取值范围$y=a^x$ 和 $y=\log_ax$ 的交点个数
$(0,\ e^{-e})$3 个交点,1 个在直线 $y = x$ 上,其余 2 个关于直线 $y = x$ 对称
$\lbrace e^{-e} \rbrace$1 个交点 $(e^{-1},\ e^{-1})$ ,且两个函数相切于这个点
$(e^{-e},\ 1)$1 个交点,在直线 $y = x$ 上
$(1,\ e^{e^{-1}})$2 个交点,在直线 $y = x$ 上
$\lbrace e^{e^{-1}} \rbrace$1 个交点 $(e,\ e)$ ,且两个函数相切直线 $y = x$ 于这个点
$(e^{e^{-1}},\ +\infty)$没有交点

参考

  1. 黄俊明. 关于指数函数与对数函数图像的交点个数问题[J]. 凯里学院学报, 2007, 25(006):7-8.


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